La evolución de la COVID-19 en Andalucía a través de cálculos simples

Hace unas semanas, cuando empezaba extenderse la pandemia os proponía una serie de procedimientos sencillos que nos permitirían comprender la marcha de la enfermedad y, sobre todo valorar cuándo las cosas mejorarían. La situación ha mejorado considerablemente y nos encontramos en una etapa de remisión, donde se están reduciendo tanto el número de contagios como el de fallecimientos. Volvemos de nuevo a retomar los datos y a valorar la evolución de la COVID-19 a lo largo de marzo y abril. La datos proceden del Informe COVID-19 en Andalucía, publicado por la Junta de Andalucía. Este ofrece cifras de la pandemia en nuestra comunidad autónoma y se actualiza a diario.

Figura 1. Evolución del número de contagios diarios. Casos diarios y frecuencias acumuladas.

En la figura 1 se muestra la evolución diaria del número de contagios. Podemos apreciar cómo la pandemia alcanza su mayor gravedad en Andalucía, referida al número de contagios registrados por día, en torno a los últimos días del mes de marzo (diagrama de barras). Igualmente se representa en la misma gráfica la curva con las frecuencias acumuladas (símbolos redondos). 

En la figura 2 se muestra la evolución diaria del número de fallecimientos durante este mismo periodo (diagrama de barras). Las frecuencias máximas diarias de fallecidos se han registrado centradas en torno al 7 de abril, desplazadas unos 8-9 días con respecto a los días en los que se habían registrado los valores máximos de los contagios. Igualmente se representan las frecuencias acumuladas de defunciones (símbolos redondos).

Figura 2. Evolución del número de fallecimientos diarios por COVID-19. Casos diarios y frecuencias acumuladas.

La curva que representa las frecuencias acumuladas es una figura muy frecuente en la naturaleza. Es una curva con forma de S, una sigmoide, que obedece a una función llamada logística. Aparece, como vemos en las epidemias, pero también en otros fenómenos naturales como el crecimiento de seres vivos en nuevos ambientes o el crecimiento de bacterias en un medio de cultivo, en ambos casos con recursos limitados. En un principio el crecimiento se acerca a un modelo exponencial, para posteriormente irse enlenteciendo hasta tender a una asíntota que representa la capacidad de carga del sistema. En el caso concreto de la pandemia del coronavirus, habremos vencido totalmente a la enfermedad cuando alcancemos esa asíntota horizontal, que en nuestro modelo supondrá que no habrá casos nuevos. La forma de estas curvas se muestra en la figura 3. En la imagen de la derecha se muestra varias funciones con distintos valores de los parámetros que matemáticamente definen esas curvas.

Figura 3. Diversos ejemplos de curvas logísticas (izquierda) y la representación gráfica de la primera derivada de sus funciones (derecha). (Wikipedia).

En las primeras etapas de la pandemia, el crecimiento tanto de contagiados como de fallecidos se ha podido asociar a un modelo exponencial. Para ello hemos ajustado, con la ayuda de una hoja de cálculo, una línea de tendencia exponencial a una selección de valores observados en días consecutivos de manera que obtuviésemos un buen ajuste, definido por el valor de R cuadrado (figura 4). Los resultados se pueden ver en la figura 4. En las gráficas se pueden ver las ecuaciones que definen estas fases de crecimiento exponencial y la bondad de su ajuste, tanto mejor cuanto más próximo a 1 esté el valor de R cuadrado. El alejamiento de la gráfica con las frecuencias observadas con respecto a la que define el modelo exponencial, es un indicativo de mejora en la evolución de la pandemia. Igualmente se puede ver cómo el desfase entre las frecuencias máximas de contagios y fallecimientos al que antes nos referíamos también se aprecia aquí: la curva de los contagios comienza a alejarse de la exponencial a partir del 24-25 de marzo, mientras que la de los fallecimientos no lo hace hasta el día 2 de abril.

Figura 4. Ajuste a una función exponencial de las frecuencias acumuladas de contagios (izquierda) y fallecimientos (derecha).

En aquella primera entrada a la que antes me refería, os proponía un método para valorar cómo variaba la pandemia; el objetivo era que pudiéramos comprobar cuando las cosas empezaban a mejorar. Para ello lo que os proponía era, también con la ayuda de una hoja de cálculo, ajustar una recta de regresión -una recta de tendencia lineal- a los datos de cinco días consecutivos, tomar el valor de la pendiente (el coeficiente de la x en la función de regresión) y representar el mismo a lo largo del tiempo. Cuanto mayor sea el valor de las pendientes, peor es la evolución de la enfermedad; es decir, se incrementa de un modo más rápido el número de contagiados. Por el contrario, cuando las pendientes disminuyen implican que la tasa de contagiados o fallecidos se va reduciendo. Matemáticamente, esto es una aproximación muy sencilla al concepto de la derivada de la función logística a la que se aproximan nuestros datos acumulados; de hecho, los que ya habéis dado estos conceptos en matemáticas sabéis que una definición de la derivada de una función es el valor de la pendiente en cada punto de la misma. A pesar de esta simplicidad, el cálculo nos ayuda a valorar, como digo, la marcha de la pandemia. La figura 5 muestra estos resultados. En azul aparece la tendencia de los contagios y en grana la de los fallecidos.

Figura 5. Evolución de las pendientes de las distribuciones de contagiados y fallecidos, calculadas por periodos de cinco días.

La utilidad de todos estos cálculos matemáticos, y la de aquellos más complejos y fiables que realizan los epidemiólogos, es en nuestro caso es comprender lo que ha pasado y, en el de los profesionales de la salud pública, hacer previsiones acerca de la marcha de la misma para poder tomar las decisiones apropiadas.

Nosotros nos vamos a quedar con la primera parte. Vamos a asumir el papel de epidemiólogos aficionados. ¿Os animáis a explicar en base a estos resultados que os proporciono cómo ha evolucionado la pandemia en Andalucía? Sí, seguramente me diréis que esto es muy complicado, y bueno algo más que otras actividades que os he propuesto por aquí sí que lo es. Pero os voy a ayudar con una serie de preguntas:

¿Podemos sacar algunas conclusiones acerca del desfase entre los máximos de la distribuciones que antes hemos descrito o en la diferencia de las fechas en las que ambas distribuciones dejan de seguir un modelo exponencial? 

Estudiad la última gráfica, la figura 5. Una vez alcanzados los máximos en ambas distribuciones en distintos momentos, vemos que en la fase de descenso aparecen nuevos picos, pero en este caso coinciden los valores máximos de la distribución de los contagiados y de los fallecidos (señalados con las bandas de color naranja); no existe el desplazamiento que observamos en los picos mayores en la peor etapa de la enfermedad. Y curiosamente, la distancia que separa todos estos máximos es de una semana, siete días. ¿Con qué podríamos relacionar este comportamiento? ¿Creéis que es debido a la propia marcha de la pandemia o tendrá algo que ver con los datos de la misma?

Y una última cuestión, en la franja naranja intermedia se puede ver una subida bastante importante de la tendencia en el número de los contagios que no se acompaña de la de fallecimientos. ¿Quién se atreve a dar una interpretación? Otra pista; en algunas de las entradas anteriores hemos hablado de las pruebas para identificar a aquellas personas que han  estado en contacto con el coronavirus, hayan desarrollado la enfermedad o haya sido asintomáticos;  si habéis estado al tanto de las noticias habréis observado como en un momento dado se ve la necesidad de aumentar el número de pruebas en la población. 

Bueno, esta tarea es un poco más complicada que otras que otras que hemos propuesto con anterioridad, pero los retos difíciles son aquellos en los que mejor nos medimos. Y por eso quien elabore su explicación tendrá una mejor recompensa. Es muy importante que seáis imaginativos e atrevidos en vuestras respuestas, pero eso sí, con fundamento científico. Espero vuestros análisis y conclusiones en los comentarios.